iMadrassa

الأشعة والهندسة التحليلية

I الأشعة والهندسة التحليلية
1 الأشعة والحساب الشعاعي
أ تعريف الشعاع
  • إذا كانت  
    و
    نقطتين من المستوي، الثنائية 
    ؛
    تعيّن شعاعا

نكتب 

ونقول أن 
ممثلا للشعاع  

  • إذا كانت 
    منطبقة على 
    فإن الثنائية  
    ؛
     تعين الشعاع المعدوم  

نكتب  

ونقول أن 
ممثلا للشعاع 

  • نسمي طول القطعة المستقيمة 
    طويلة الشعاع 
    ونرمز  إليها بالرمز  
     ونكتب:  
  • إذا كان
     شعاعا غير معدوم فإن منحى الشعاع  
     هو منحى المستقيم  
     
  • إذا كان الشعاعين 
    و
    لهما نفس المنحى و إذا كان 
    ممثلا للشعاع  
    و
    ممثلا للشعاع  
    فإن :

و
لهما نفس الاتجاه إذا كانت 
تنتمي إلى نصف المستقيم 

و
لهما اتجاهان متعاكسان إذا كانت 
تنتمي إلى نصف المستقيم 

الشعاع المعدوم ليس لم منحى

ب تساوي شعاعين

 و 
 متساويان) إذا وفقط إذا ( 
 و 
  لهما نفس المنحى ونفس الاتجاه ونفس الطويلة) 

 

من أجل كل أربعة نقط  

؛؛؛
  من المستوي 

إذا وفقط إذا (
 و
لهما نفس المنتصف)

 

 

ت مجموع شعاعين

مجموع الشعاعين 

  و
هو الشعاع 
  حيث:

إذا كان  

ممثلا للشعاع 
و كان  
ممثلا للشعاع  
فإن
ممثلا للشعاع  
و نكتب :  

إذا كانت  

؛؛
 ثلاثة نقط كيفية من المستوي فإن :  
 و نسمي هذه العلاقة علاقة شال (Chasles) 

إذا كانت 

متوازي الأضلاع فإن : 

خواص الجمع الشعاعي

من أجل كل ثلاثة أشعة 

،،
  لدينا:

  • يوجد شعاع  
    حيث

ونسمي الشعاع   

 حيث  
 الشعاع المعاكس للشعاع   
 

 

إذا كانت

؛؛
  ثلاثة نقط من المستوي فإن

  • تكافئ (
    منتصف القطعة 

 

ث جداء شعاع بعدد حقيقي

نسمي جداء الشعاع الغير معدوم  

 بالعدد الحقيقي الغير معدوم
الشعاع الذي نرمز إليه 
حيث:

  •   و
    لهما نفس المنحى ونفس الاتجاه إذا كان 
  •   و 
    لهما نفس المنحى واتجاهان متعاكسان إذا كان 
خواص ضرب شعاع بعدد حقيقي

من أجل كل عددين حقيقيين 

و
ومن أجل كل شعاعيين 
و
:

  • تكافئ
    أو
ج الارتباط الخطي

نقول أن الشعاعين

و
مرتبطان خطيا إذا كان أحدهما يساوي جداء الأخر بعدد حقيقي   معناه  

الشعاعين

و
مرتبطان خطيا إذا وجد عدد حقيقي 
حيث

 

الشعاع المعدوم مرتبط خطيا مع أي شعاع

يكون شعاعين غير معدومين مرتبطين خطيا إذا وفقط إذا كان لهما نفس المنحى

خاصية
  • يكون المستقيمان 
     و 
     متوازيان إذا و فقط إذا كان الشعاعان  
     و 
     مرتبطان خطيا  
  • تكون النقط 
    ؛؛
     على  استقامة  واحدة   إذا و فقط إذا كان الشعاعان 
    و
    مرتبطان خطيا
2 المعلم للمستوي
أ معلم المستوي

و
شعاعين غير مربطين خطيا و  
 نقطة من المستوي، نسمي الثلاثية 
؛؛
 معلما للمستوي  

نسمي النقطة

مبدأ المعلم ونسمي الثنائية 
؛
أساس المعلم 

نسمي المحور 

؛
محور الفواصل ونسمي المحور 
؛
محور التراتيب

  • إذا كان 
    و
    متعامدان فإن المعلم 
    ؛؛
    متعامد
  • إذا كان 
    و
    متعامدان و
    فإن المعلم 
    ؛؛
    متعامد و متجانس

 

ب احداثيا نقطة –مركبتا شعاع

المستوي منسوب إلى المعلم

  •  من أجل كل نقطة
     من المستوي توجد ثنائية وحيدة
      من الأعداد الحقيقية حيث :  

نسمي الثنائية

  احداثيا النقطة
  بالنسبة للمعلم
 و نكتب

  •  من أجل كل شعاع
      من المستوي توجد ثنائية وحيدة
      من الأعداد الحقيقية حيث:

نسمي الثنائية

  مركبتا الشعاع
  بالنسبة للأساس
  و نكتب

 

لتكن 

  نقطة من المستوي المنسوب إلى المعلم  
، المستقيم الذي يشمل 
و الموازي لحامل محور

الفواصل يقطع حامل محور التراتيب في النقطة

 و المستقيم الذي يشمل النقطة
  و الموازي لحامل محور التراتيب

يقطع حامل محور الفواصل في النقطة 

  كما هو مرسوم في الشكل

الشعاعين

  و
  لهما نفس المنحى و منه
  و
  مرتبطان خطيا و منه يوجد عدد حقيقي وحيد  حيث:

الشعاعين

  و
  لهما نفس المنحى و منه
  و
  مرتبطان خطيا و منه يوجد عدد حقيقي وحيد  حيث:

و بما أن

  متوازي الأضلاع فإن  
و منه

و منه توجد ثنائية وحيدة

  من الأعداد الحقيقية حيث:

▪ ليكن

  شعاع و لتكن
  النقطة من المستوي حيث

نعلم أن توجد ثنائية وحيدة

  من الأعداد الحقيقية حيث:
  معناه توجد ثنائية وحيدة
  من الأعداد الحقيقية حيث:

نستبدل  

  ب 
  لكي نميز بين إحداثيا النقطة
  ومركبتا  الشعاع  

في المستوي المنسوب إلى المعلم ، إذا كان

  و
  و كان
  عدد حقيقي فإن:

  •  
     إذا و فقط إذا
      و
  •  
  •  

بالنسبة للمعلم

  : لدينا

 

 منه  
  و
  و منه

نلاحظ أن :

  و منه
  و أن
  و أن
  و هذا صحيح لأن
 و منه 

   معناه

مركبتي شعاع واحداثيي منتصف قطعة

إذا كان المستوى  منسوب إلى المعلم

  و كانت  
  و
   فإن

  •  إحداثيا النقطة
      منتصف القطعة  
    هما 

لدينا

  منه
  و بما أن
  فإن

و لدينا

  منه
  و منه
و منه

   و منه

▪ نضع

و نعلم أن
 لأن
  منتصف القطعة  
و بما أن
  و

   فإن

  و منه
  و بما أن
  فإن

   و منه

  و منه

التعبير عن الارتباط الخطي بمركبتي الشعاع

في المستوي المنسوب إلى المعلم، إذا كان

  و  

  و
  مرتبطين خطيا إذا وفقط إذا

(

  و
  مرتبطين خطيا ) منه  (يوجد عدد حقيقي
  حيث 
) منه (يوجد عدد حقيقي 
  حيث
  و

 و منه

  و
  و منه

  •  نفرض أن
      و 
      يحققان 

إما أحدهما معدوم (أو الاثنان معدومان) ففي هذه الحالة الشعاعين مرتبطين خطيا لأن الشعاع المعدوم مرتبط خطيا مع أي شعاع

إما الشعاعين غير معدومان ففي هذه الحالة من بين المركبات 

  واحدة على الأقل ستختلف عن صفر

نفرض مثلا أن 

  هي التي تختلف عن 0 و منه من
  نستنتج ان
  معناه
  

نضع

  و منه
  و
  و منه
  و منه
  و 
  مرتبطان خطيا

المسافة بين نقطتين

  

إذا كان المعلم منسوب إلى المعلم متعامد ومتجانس 

 وكانت  
  و
   فإن:

 

3 المستقيم في المستوي
أ شعاع توجيه مستقيم

نسمي شعاع توجيه المستقيم

  كل شعاع من المستوي له منحى المستقيم

إذا كان

  شعاع توجيه المستقيم
  فكل شعاع
  مرتبطا خطيا مع
  يعتبر شعاع توجيه المستقيم

 

  ،
  و
  أشعة توجيه المستقيم

معامل توجيه مستقيم

في المستوي منسوب إلى المعلم 

؛؛

نسمي معامل توجيه مستقيم المركبة الثانية لشعاع توجيه لهذا المستقيم مركبته الأولى هي 1

وهذا معناه

 

  معامل توجيه المستقيم $$(d)إذا وفقط إذا كان 
شعاع توجيه للمستقيم 

 

معادلة مستقيم موازي لحامل محور التراتيب

في المستوي منسوب إلى المعلم

▪ لكل مستقيم موازي لحامل محور التراتيب معادلة من الشكل  

  علما أن  
عدد حقيقي

▪ مجموعة النقط

  من المستوي حيث
 علما أن  
عدد حقيقي هي  مستقيم موازي لحامل محور

التراتيب

المستوي منسوب إلى المعلم  

▪ ليكن

  مستقيم موازي لحامل محور الترتيب منه
  شعاع توجيه

ولتكن

   نقطة من
  و
  نقطة من المستوي

 

 تنتمي إلى
  إذا و فقط إذا
و
  مرتبطين خطيا و منه

   و منه

  و منه

و منه للمستقيم

  الموازي لحامل محور التراتيب  و الذي يشمل النقطة
  معادلة من الشكل

  •   نقطة من المجموعة المتكونة من النقط
      من المستوي حيث
      منه
      و بما أن 
      فإن
      و منه
      منه

    يوازي حامل محور التراتيب

معادلة مستقيم غير موازي لحامل محور التراتيب

لكل مستقيم

 غير موازي لحامل محور التراتيب معادلة من الشكل:
  علما أن
  و
عددان حقيقيان ، العدد  
هو  معامل توجيه المستقيم
 

  •  مجموعة النقط  
    من المستوي حيث
      علما أن
      و
    عددان حقيقيان هي مستقيم غير

موازي لحامل محور التراتيب ذو شعاع توجيه

 

لتكن

  و
  من المستقيم  
الغير موازي لحامل محور الترتيب و منه  
و لتكن

   نقطة من المستوي

 

 تنتمي إلى
  إذا و فقط إذا
  و 
  لهما نفس المنحى معناه مرتبطان خطيا

و منه  

و منه

   و منه 

   و بما أن

  فإن

   و منه  

نضع

  و
  و منه

▪ لتكن  

  نقطة من المجموعة المتكونة من النقط
؛
  حيث
  منه

   و بما أن 

  و
  و منه

  و منه

  و منه

   مع

  و منه 
  و 
  لهما نفس المنحى و منه المجموعة المتكونة من النقط

 من المستوي حيث

 هي المستقيم الذي يشمل النقطة
  و ذو الشعاع توجيه

 

 

معامل توجيه مستقيم يشمل نقطتين

إذا كانت

  و
  نقطتين من المستوي المنسوب إلى معلم حيث 
  فإن معامل توجيه

المستقيم

  هو العدد
  حيث 

شرط توازي مستقيمين

في المستوي المنسوب إلى معلم

المستقيمان

  و 
  اللذان معادلتهما
  و
  على هذا الترتيب متوازيين إذا وفقط

إذا

  و نكتب 
:  يكافئ

نعلم أن

  شعاع توجيه المستقيم
  و أن
  شعاع توجيه المستقيم 
 

 

يكافئ (
  و
 مرتبطان خطيا ) و تكافئ
  تكافئ
تكافئ

 

4 جملة معادلتين خطيتين لمجهولين

نسمي جملة معادلتين خطيتين للمجهولين الحقيقيين

و
كل جملة 
ذات الشكل: 

 علما  أن

؛؛؛؛؛
أعداد حقيقية

و نسمي محدد الجملة 

العدد الحقيقي الذي نرمز إليه ب: 

  و الذي يساوي:  

 

لتكن الجملة 

إذا كان محدد الجملة 

غير معدوم فإن الجملة 
تقبل حلا واحدا

إذا كان محدد الجملة  

معدوم فان الجملة
إما ليس لها حلول إما لها عدد غير منتهي من الحلول  

 

 

 

  • نعتبر الجملة
    ، محددها هو العدد الحقيقي

 


  و يساوي  

و بما أنه يختلف عن

فالجملة تقبل حلا واحدا يمكن إيجاده مثلا بطريقة التعويض

من المعادلة الثانية نستخرج 

 
و نجد 
 و نعوض في الأولى و نجد  بدلالة

معناه
و منه 
ثم نعوض 
بقيمته في إحدى المعدلات

و نجد 

و منه 
و منه  

و منه الجملة 

تقبل حلا واحدا و هو
؛؛

--------------------------------------------------------------

  • نعتبر الجملة   

، محددها هو العدد الحقيقي


 و يساوي 

و بما أنه يساوي 

  فالجملة 
إما ليس لها حلول إما لها عدد غير منتهي من الحلول

نستخرج نفس المجهول (مثلا 

بدلالة
الأخر في المعادلتين ثم نحكم على الجملة و نجد  : 

نلاحظ أن الجملة مستحيلة لأن

 لا يمكن أن يساوي عددين مختلفين في نفس الوقت  و منه الجملة
 

لا تقبل حلول

--------------------------------------------------------------

  • نعتبر الجملة 

 

، محددها هو العدد الحقيقي

 

و يساوي 


 و بما أنه يساوي 0 فالجملة
 إما ليس لها حلول إما لها عدد غير منتهي من الحلول

نستخرج نفس المجهول (مثلا

بدلالة
الأخر في المعادلتين ثم نحكم على الجملة و نجد
 

نلاحظ أن الجملة متكونة من نفس المعادلة ومنه  الجملة تقبل عدد غير منتهي من الحلول و هي كل الثنائيات 

؛
حيث
ونمثل مجموعة الحلول بالمستقيم ذو المعادلة 

 

 

 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • Bouaziz Sofiane
  • 260 نقطة
  • Elhouda Lough Nour
  • 215 نقطة
  • wahab abdou
  • 200 نقطة
  • mar wa
  • 200 نقطة
  • Hanouna Janine
  • 200 نقطة
  • اية عمران
  • 200 نقطة
  • Nessrine Meriem
  • 200 نقطة
  • habiba benabdallah
  • 200 نقطة
  • Tryndamere Gnar
  • 192 نقطة
  • عبد الرحيم ياسين
  • 177 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.